上海2025年数学高考真题（网传版 上海卷）
（网络收集）2025年上海卷数学卷高考真题带答案带解析文字版
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)
1.已知全集
，集合
，则
______.
【答案】[4,5]
【解析】由题意,
2.不等式
的解集为______.
【答案】(1,3)
【解析】由题意,
3.等差数列
,
,公差
,则
______.
【答案】12
【解析】由题意,
4.在二项式
的展开式中，
的系数为______.
【答案】80
【解析】由题意,
时为80
5.函数
在
上的值域为______.
【答案】[0,1]
【解析】由题意，y=cosx在
单调递增，在
单调递减，易得值域为[0,1]
6.已知随机变量X的分布为
，则期望
______.
【答案】6.3
【解析】
7.如图，在正四棱柱
中，
，
，则该正四棱柱的体积为______.
【答案】112
【解析】由题意，
，
8.设
，
，则
的最小值为______.
【答案】4
【解析】
9.4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______种.
【答案】288
【解析】由题意，
.
10.已知复数z满足
，
，则
的最小值是______.
【答案】
【解析】由题意，设
，则
或
，
，故z表示复平面
或
，故
表示z在复平面上与(2,3)的距离，故位于(0,1)时最小值为
11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角
______．（结果用角度制表示，精确到
）
【答案】12.58°
【解析】由题意
,由
12.已知函数
，
、
、
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】若
两两垂直显然不成立；
故不妨设
即不妨设
，
故
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案。
13.已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为
，事件B发生的概率为
，则事件
发生的概率
为（）
A.0
B.
C.
D.1
【答案】B
【解析】由题意，
14.设
，
．下列各项中，能推出
的一项是（）
A.
，且
．
B.
，且
．
C.
，且
．
D.
，且
．
【答案】D
【解析】由题意，
时
；
时
，故选D
15.已知
，
，C在
上，则
的面积（）
A.有最大值，但没有最小值．
B.没有最大值，但有最小值．
C.既有最大值，也有最小值．
D.既没有最大值，也没有最小值．
【答案】A
【解析】由题意，AB与渐近线平行，故当C无限逼近渐近线时，ΔABC在AB上的高无限逼近渐近线与AB的距离，故无最小值；当C位于(1,0)时，ΔABC在AB上的高最大，此时面积有最大值。
16.设
，数列
，数列
．设
．若对任意
，长为
、
、
的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（）
A.1个．
B.3个．
C.4个．
D.无穷．
【答案】B
【解析】不妨设
，
由
在线段
上，故令
故列举：
当
时，
显然不成立；
当
时，
显然不成立；
同理易得当
时，
或
；
当
时，
；
综上，应为3个。
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为
，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78，
故极差为216.93－206.78＝10.15，中位数为
（2）由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个，故设恰有2个数据在211以上为
事件A，
，故恰有2个数据在211以上的概率为
（3）由题意，比赛成绩y的平均数为
，
故
过(2006,210.399)，则
即
故当
时，
，故2028年冠军队的成绩约为204.557.
18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且
．
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧
的长为
，
．设点M在线段OC上，证明：直线
平面PBD．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）联结
，由题意，
，故
，即
（2）（在此展示向量处理，几何法可利用平面平行推线面平行）
由题意，过
作
平面
，以
为原点，
为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
则
，设平面
法向量为
，
设
，则
，
则
，即
，
由
不在平面
内，故直线
平面
．
19.已知
，
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1)由题意,
,
故
,
设
,由
与
均为增函数,故
为增函数,
由
得
,故解集为
(2)由题意,
,
故分类讨论,当
时,
,
故
在(0,1)单调递减,在
单调递增,故
无极大值不成立;
当
时,分类讨论,
当
时,
恒成立,
在
单调递增,故
无极大
不成立;
当
时,
或
,
在
和
单调递增,在
单调递减,故
在
处取得极大值;
当
时,
或
,
在(0,1)和
单调递增,在
单调递减,故
在
处取得极大值;
综上,
20.已知椭圆
，
，A是
的右顶点．
(1)若
的焦点是
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)若AM中垂线l的斜率为
，l与
交于C、D两点，
为钝角，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】(1)由题意,
,故
,故
；
(2)由题意,
不妨设
,故
,
由
得,
,即
,故
,
由
在椭圆上,故
,解得
(负根舍).
(3)由题意,
斜率为
,故
,
不妨设
中点为
,设
则
方程为
,
故
,
由
为钝角,
故
,
故
,即
,
由
得,
.
21.已知函数的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，并说明理由；
(2)若
，
，求a的取值范围；
(3)设
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
的解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有
个零点．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】(1)由题意,
,当
时,
,故
不属于
.
(2)当
时,
,此时
,
故
与
相切于
,令
,此时
当
时,
,当
时,
,故
,
综上,
.
(3)由题意,当
时,若
,则必有
,
由为偶函数,故当
时,易得
,
任取
,则必有
使
,
即满足
时,任意的
皆满足
,
即任意的
,
故
时,易得
;
同理可得当
时,
,
由
为偶函数,易得
时,
时,
,
由
仅有
的限制,函数值可任取,
故当
时,
在
内可最多取
个零点,
故对任意的实数
,函数
在
上至多有9个零点.
